Chapitre 1 : Limites et dérivation

Taux d'accroissement, nombre dérivé et équation de la tangente

Définition et concepts clés

I. Limite en zéro d'une fonction

La limite d'une fonction quand x tend vers a est la valeur dont s'approche f(x) quand x s'approche de a.

Notation : \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)

II. Taux d'accroissement

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a \in I. Le taux d'accroissement de f entre a et a+h (avec h \neq 0) est :

\[T(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

Ce taux représente la pente de la sécante à la courbe de f passant par les points d'abscisses a et a+h.

III. Nombre dérivé

Lorsque le taux d'accroissement T(h) admet une limite finie quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, noté f'(a) :

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

Le nombre dérivé représente la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Exemple du cours

Soit f(x) = x^2 + 2x - 3. Calculons f'(2) :

\(f(2) = 2^2 + 2 \times 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\)

\(f(2+h) = (2+h)^2 + 2(2+h) - 3 = h^2 + 6h + 5\)

\(T(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = h + 6\)

\(\lim_{h \to 0} T(h) = \lim_{h \to 0} (h + 6) = 6\)

Donc \(f'(2) = 6\)

IV. Équation de la tangente

Si f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :

\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]

Exemple du cours : Équation de tangente

Soit f(x) = 3x^2 - x - 4. Déterminons l'équation de la tangente au point d'abscisse -1 :

\(f(-1) = 3(-1)^2 - (-1) - 4 = 0\)

\(\tau(h) = \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = 3h - 7\)

\(f'(-1) = \lim_{h \to 0} \tau(h) = -7\)

Équation de la tangente : \(y = -7(x + 1) + 0 = -7x - 7\)

Sujets d'évaluation

Sujet 1 : Taux d'accroissement - Nombre dérivé - Équation tangente (par calculs)

Objectif : Savoir calculer le taux d'accroissement, déterminer le nombre dérivé et en déduire l'équation de la tangente par le calcul.

Compétences évaluées :

  • Calculer le taux d'accroissement d'une fonction entre deux points
  • Déterminer la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0
  • Écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point
  • Appliquer ces concepts à des fonctions polynomiales

Méthode :

  1. Calculer f(a) et f(a+h)
  2. Déterminer T(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
  3. Simplifier T(h)
  4. Calculer \lim_{h \to 0} T(h) = f'(a)
  5. Écrire l'équation : y = f'(a)(x-a) + f(a)
Voir un exemple détaillé

Sujet 2 : Taux d'accroissement - Nombre dérivé - Équation tangente (par graphique)

Objectif : Savoir interpréter graphiquement le taux d'accroissement, le nombre dérivé et l'équation de la tangente.

Compétences évaluées :

  • Identifier graphiquement le taux d'accroissement (pente d'une sécante)
  • Reconnaître le nombre dérivé comme pente de la tangente
  • Déterminer graphiquement l'équation d'une tangente
  • Lire graphiquement des valeurs de fonctions et de dérivées

Méthode :

  1. Sur un graphique, identifier deux points pour former une sécante
  2. Calculer la pente de cette sécante (taux d'accroissement)
  3. Observer la tangente à la courbe en un point donné
  4. Déterminer graphiquement la pente de cette tangente (nombre dérivé)
  5. Écrire l'équation de la tangente à partir d'un point et de sa pente
Voir un exemple graphique

Questionnaire de révision (15 questions)

Testez vos connaissances avec ce questionnaire. Vérifiez vos réponses à la fin.

Question 1

Le taux d'accroissement de la fonction f entre a et a+h est donné par :

Question 2

Si f(x) = x^2, que vaut f'(3) ?

Question 3

La limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 donne :

Question 4

L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est :

Question 5

Soit f(x) = 2x^2 - 3x + 1. Que vaut f(1+h) - f(1) ?

Question 6

Si la tangente à une courbe au point d'abscisse 2 a pour équation y = 3x - 1, alors :

Question 7

Que représente graphiquement le taux d'accroissement ?

Question 8

Soit f(x) = 4x - x^2. Que vaut f'(1) ?

Question 9

Si \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = 5, alors :

Question 10

Lorsqu'on calcule le taux d'accroissement, que doit-on faire si on obtient une forme indéterminée du type \(\frac{0}{0}\) ?

Question 11

Pour la fonction f(x) = x^3, que vaut f'(0) ?

Question 12

Si la tangente à une courbe est horizontale en un point, que peut-on dire du nombre dérivé en ce point ?

Question 13

Dans l'exemple du cours avec f(x) = 3x^2 - x - 4, quelle est l'équation de la tangente au point d'abscisse -1 ?

Question 14

Quelle est la pente de la tangente à la courbe de f(x) = \frac{1}{x} au point d'abscisse 2 ?

Question 15

Si f'(a) = 0, que peut-on dire de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?